(一二)今有积五万五千二百二十五步。问为方几何

本题是开平方:已知积步,求正方形的边长。术文用「借算」定位、逐位「议得」,一层层定出各位数字,是世界上最早的竖式开方记录之一。

(一二)今有积五万五千二百二十五步。问为方几何?

答曰:二百三十五步。

(一三)又有积二万五千二百八十一步。问为方几何?

答曰:一百五十九步。

(一四)又有积七万一千八百二十四步。问为方几何?

答曰:二百六十八步。

(一五)又有积五十六万四千七百五十二步四分步之一。问为方几何?

答曰:七百五十一步半。

(一六)又有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步。问为方几何?

答曰:六万三千二十五步。

开方术曰:置积为实。借一算步之,超一等。议所得,以一乘所借一算为法,而以除。除已,倍法为定法。其复除。折法而下。复置借算步之如初,以复议一乘之,所得副,以加定法,以除。以所得副从定法。复除折下如前。若开之不尽者为不可开,当以面命之。若实有分者,通分内子为定实。乃开之,讫,开其母报除。若母不可开者,又以母乘定实,乃开之,讫,令如母而一。

翻译▾

(一二)现有田面积为 55225 平方步。如果是正方形,那么其边长是多少?答:235 步。(一三)又有田面积为 25281 平方步。如果是正方形,那么其边长是多少?答:159 步。(一四)又有田面积为 71824 平方步。那么如果是正方形,其边长是多少?答:268 步。(一五)又有田面积为平方步。那么如果是正方形,其边长…

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译解▾

(一二)正方形面积=边长2,边长==235 步。

(一三)同理,边长==159 步。

(一四)同理,边长==268 步。

(一五)同理,边长==步。

(一六)同理,边长==63025步。

术解▾

以(一二)为例:(1)面积 55225 为被除数,借一算筹,算筹是 100,从个位向移动两次,即移动四位,到万位为止。万位是 5。(2)2×2<5<2×3,得出初商是 2。因为借算在万位,初商 2 应放在百位。(3)用初商自乘 1 次,再与算筹相乘,2×2×10000=40000,为除数。被除数减去得数,55225–40000=15225。(4)以倍数为定…

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原文▾

(一二)今有积五万五千二百二十五步。问为方(1)几何?

答曰:二百三十五步。

(一三)又有积二万五千二百八十一步。问为方几何?

答曰:一百五十九步。

(一四)又有积七万一千八百二十四步。问为方几何?

答曰:二百六十八步。

(一五)又有积五十六万四千七百五十二步四分步之一。问为方几何?

答曰:七百五十一步半。

(一六)又有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步。问为方几何?

答曰:六万三千二十五步。

开方术(2)曰:置积为实。借一算步之,超一等(3)。议所得,以一乘(4)所借一算为法,而以除(5)。除已,倍法为定法。其复除。折法而下(6)。复置借算步之如初,以复议一乘之,所得副,以加定法,以除。以所得副从定法。复除折下如前。若开之不尽者为不可开,当以面命之(7)。若实有分者,通分内子为定实。乃开之,讫(8),开其母报除。若母不可开者,又以母乘定实,乃开之,讫,令如母而一。

注释▾

(1) 方:开方,即求正方形的边长。

(2) 开方术:开平方的运算法则。

(3) 借一算步之,超一等:算,算筹。超,超越、超过。等,数位。即借一个算筹,把它向前进两位。

(4) 一乘:乘一次。

(5) 而以除:除,这里指相减。

(6) 折法而下:折,折损。使除数折算退一位。

(7) 以面命之:命,命名。以这个数为面积的正方形边长来命名,即正方形的边长。

(8) 讫:完结,截止。

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