九章算术

卷六均输

均输

均输术曰：令县户数，各如其本行道日数而一，以为衰。甲衰一百二十五，乙、丙衰各九十五，丁衰六十一，副并为法。以赋粟、车数乘未并者，各自为实。实如法得一车。有分者上下辈之。以二十五斛乘车数，即粟数。

今有均赋粟，甲县二万五百二十户，粟一斛二十钱，自输其县；乙县一万二千三百一十二户，粟一斛一十钱，至输所二百里；丙县七千一百八十二户，粟一斛一十二钱，至输所一百五十里；丁县一万三千三百三十八户，粟一斛一十七钱，至输所二百五十里；戊县五千一百三十户，粟一斛一十三钱，至输所一百五十里。凡五县赋，输粟一万斛。一车载二十五斛，与僦一里一钱。欲以县户输粟，令费劳等。

（一）今有均输粟：甲县一万户，行道八日；乙县九千五百户

现要按照户数征收公粮，分摊运输公粮的车辆：甲县有10000户，距离收粮所有8日的路程；乙县有9500户，距离收粮所有10日的路程；丙县有12350户，距离收粮所有13日的路程；丙县有12200户，距离收粮所有20日的路程。四县上缴的公粮总计250000斛，运粮车总计10000辆。现在按照道路的远近，各县户数的多少，按比例分摊。问每个县城运送的粮食、运粮车辆各有多少？答：甲县运送的粟有83100斛，运粮车3324；乙县运送的粟有63175斛，运粮车2527辆；丙县运送的粟有63175斛，运粮车2527辆；丁县运送的粟有40550斛，运粮车为1622辆。运算法则：用各县的户数各除以各县运输路程的天数，以此各作衰数。甲县的衰数为125，乙县和丙县的衰数都是95，丁县的衰数为61，将各县衰数相加作为除数。用总运粮车数乘各县的衰数，各自作为被除数。用被除数除以除数，得到各县的车辆数。有分数出现时，按照四舍五入得一个整数。以每车25斛乘各县运粮车数，即可得到各县粟数。

（二）今有均输卒：甲县一千二百人，薄塞；乙县一千五百五十人

（二）现要分摊役卒：甲县有1200人，该县靠近边塞；乙县有1550人，到边塞需要走1天；丙县有1280人，到边塞需要走2天；丁县有990人，到边塞需要走3天；戊县有1750人，到边塞需要走5天。五个县城总计役卒1200人，服役1个月。各县按照路程的远近、户数的多少，按照比列来分摊。问各县分摊的役卒数各位多少？答：甲县分摊的役卒数为229人；乙县分摊的役卒数为286人；丙县分摊的役卒数228人；丁县分摊的役卒数为171人；戊县分摊的役卒数为286人。运算法则：用役卒的总人数，分别除以各县服役的天数及行程天数的和，以此作为衰数。甲县衰数为4，乙县的衰数为5，丙县的衰数为4，丁县的衰数为3，戊县的衰数为5。将各县的衰数相加作为除数，以总役卒数乘各县衰数，各自作为被除数。用被除数除以除数，得数为各县分摊的人数。答案出现分数的话，按照四舍五入得一个整数。

今有均赋粟，甲县二万五百二十户，粟一斛二十钱，自输其县

（三）现要分摊赋粟：甲县有20520户，每斛粟的价格为20钱，自行送去本县；乙县有12312户，每斛粟的价格为10钱，距离收粮地200里；丙县有7182户，每斛粟的价格为12钱，距离收粮地150里；丁县有13338户，每斛粟的价格为17钱，距离收粮地250里；戊县有5130户，每斛粟的价格为13钱，距离收粮地150里。五县总计赋粟数为10000斛。每辆车可运25斛，每1里运费为1钱。现按照各个县城运送的赋粟，使各县的花费相等。问各个县分摊的赋粟是多少？答：甲县分摊的赋粟为斛；乙县分摊的赋粟为

（四）今有均赋粟，甲县四万二千算，粟一斛二十，佣价一日一钱

（四）现要分摊赋粟：甲县有42000算，每斛粟的价格为20钱，自行送去本县收粮地；乙县有34272算，每斛粟的价格为18钱，雇用搬运工人的费用是每人每日10钱，距离收粮地有70里；丙县有19328算，每斛粟的价格为16钱，雇用搬运工人的费用是每人每日5钱，距离收粮地有140里；丁县有17700算，每斛粟的价格为14钱，雇用搬运工人的费用是每人每日5钱，距离收粮地有175里；戊县有23040算，每斛粟的价格为12钱，雇用搬运工人的费用是每人每日5钱，距离收粮地210里；己县有19136算，每斛粟的价格为10钱，雇用搬运工人的费用是每人每日5钱，距离收粮地有280里。六县总赋粟数为60000斛，全都送去甲县。每辆车需6名搬运工人，每车装赋粟25斛，重车每日能行50里，空车每日能行70里，装货卸货各需要1天。赋粟有好有坏，雇用的搬运工人价格也都不同，按照算赋出钱，使各县花费相等。问各个县分摊的赋粟是多少？答：甲县分摊赋粟

（五）今有粟七斗，三人分舂之，一人为粝米，一人为稗米

（五）现有粟共7斗，三个人分着舂之，一人舂成粝米，一人舂成稗米，一人舂成糳米，将每个人舂出来的米相等，问每个人要取多少粟？舂出来的米是多少？答：粝米取粟斗，稗米取粟斗，糳米取粟斗，舂出来的米各为

（六）今有人当禀粟二斛。仓无粟，欲与米一、菽二，以当所禀粟

（六）现有人要领取2斛粟。仓库中没有粟，所以就想给1份粝米，2份豆类来代替粟的分量。问粝米和豆类各发多少？答：发粝米5斗升，发豆类1斛升。运算法则：将1份粝米、2份豆类各换算成粟的数量，两者相加后，得到，以此作为除数。再次将1份粝米、...

（八）今有负笼重一石一十七斤，行七十六步，五十返

（八）现背筐重1石17升，行走76步，来回50趟。现背筐重1石，行走100步，问要来回多少趟？答：来回趟。运算法则：用现背筐的步数乘现背筐的重量作为除数，原先筐的重量乘原先背筐的步数，乘原先来回的趟数，以此作为被除数。用被除数除以除数，得数为来回的趟数。

（九）今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里

（九）现委托驿站运输粮食，空车一日能行走70里，装了粮的重车一日能行走50里。现将粮从太仓运送到上林，5天能来回3趟。问太仓到上林的距离是多少？答：里。运算法则：将空车日行里数和重车日行里数相加，乘来回3趟，作为除数。将空车日行里数乘重车日行里数，再乘5日，以此作为被除数。被除数除以除数，得数为太仓与上林的距离。

（一〇）今有络丝一斤为练丝一十二两

（一〇）现有络丝1斤，做成练丝可得12两，1斤练丝做成青丝可得1斤12铢。现在有青丝1斤，问原来有多少络丝？答：原来有络丝1斤4两铢。运算法则：用12两练丝乘1斤12铢青丝，以此作为除数。用1斤青丝的铢数乘练丝1斤的两数，再乘1斤络丝，以此作为被除数。被除数除以除数，得数为络丝的斤数。

（一一）今有恶粟二十斗，舂之，得粝米九斗。今欲求稗米十斗

（一一）现有质量不好的粟20斗，舂成粝米后，可得粝米9斗。现要舂出10斗稗米，问需要多少质量不好的粟？答：需要24斗升。运算法则：用9斗粝米乘9，以此作为除数。用10斗稗米乘10，再乘质量不好的粟20斗，以此作为被除数。被除数除以除数，得数为质量不好的粟数。

（一二）今有善行者行一百步，不善行者行六十步

（一二）现有走路快的人能走100步，走路不快的人能走60步。现在让走路不快的人先走100步，走路快的人去追，问走多少步才能追到？答：要走250步。运算法则：用走路快的人的100步，减去走路不快的人的60步，余下40步，以此作为除数。用走路快的人的100步，乘走路不快的人先行的100步，以此作为被除数。被除数除以除数，得数为所追的步数。

（一三）今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里

（一三）现有走路不快的人先走10里，令走路快的人去追，追到100里时，已经领先走路不快的人20里。问走路快的人走到多少里时就已经追上走路慢的人？答：走到里时已经追上。运算法则：用走路不快的人先走的10里，加上走路快的人超过的20里，以此作为除数。用走路不快的人先走的10里，乘走路快的人走的100里，以此作为被除数。被除数除以除数，得数为所求的里数。

（一四）今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止

（一四）现有兔子先走100步，狗追到250步，还差30步时停了下来。问狗不停下的话，需要再走多少步就能追上兔子？答：需要再走步。运算法则：用兔子先跑的100步，减去狗还差的30步，以余下的步数作为除数。用还差的30步乘狗追出去的步数，以此作为被除数。被除数除以除数，得数为所求的步数。

（一五）今有人持金十二斤出关。关税之，十分而取一

（一五）现有人拿着12斤金要出关。出关要收税，收取。现在要收2斤金的关税，归还5000钱。问1斤金价值多少钱？答：价值6250钱。运算法则：用10乘2斤，再减去12斤，以余下的数作为除数。用10乘5000作为被除数。被除数除以除数，就能得到1斤金的价值。

（一六）今有客马日行三百里。客去忘持衣，日已三分之一

（一六）现有客人骑马，行走了300里。客人离开的时候忘记拿衣服，直到一日过去了，主人才察觉。于是主人拿着客人的衣服去追客人，交给客人后才回家，回家后一日过去了。问主人马不休息，一日可以走多少里？答：一日可走780里。运算法则：用过去的...

（一七）今有金箠，长五尺。斩本一尺，重四斤。斩末一尺

（一七）现有一根金棍，有5尺长。截本端1尺，重4斤。截末端1尺，重2斤。问依次每一尺有多重？答：从末端到本端，每尺依次重2斤、2斤8两、3斤、3斤8两、4斤。运算法则：用末端的2斤去减本端4斤，余下的数为“差率”。又用本端重，与间数4相乘，作为下方的第一个比数。将这个比数用差率减去，每减一次所得的尺数各作为比数。另外将下方第一个比数作为除数，用本端重4斤乘遍各个比数，以此各作为被除数。被除数除以除数，得数为依次每一尺的重量。

（一八）今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等。问各得几何

（一八）现有5人分5钱，令上面两人分的钱与下面三人分的钱相等。问每个人得多少钱？答：甲得钱，乙得钱，丙得1钱，丁得钱，戊得

（一九）今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升

（一九）现有竹子共9节，下面3节的容量为4升，上面4节的容量为3升。问中间两节的容量也均匀变化，每节容量是多少？答：从下往上，每节竹子的容量分别为升、升、升、

（二十）今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海

（二十）现有野鸭从南海开始起飞，飞了7日抵达北海；大雁从北海开始起飞，飞了9日抵达南海。现野鸭和大雁同时起飞。问多少日才会相遇？答：日相遇。运算法则：将日数相加作为除数，将日数相乘作为被除数。被除数除以除数，得数为相遇的日数。

（二一）今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安

（二一）现有甲从长安发出，到齐国需要5日；乙从齐国出发，到长安需要7日。现在乙先出发2日，甲再从长安出发。问甲和乙经过多少日才能相遇？答：日相遇。运算法则：将5日和7日相加，以此作为除数。用乙需要行的7日减去其先行的2日，余下的数乘甲需要行的5日，以此作为被除数。被除数除以除数，得数为甲乙相遇的日数。

（）今有人日为牡瓦牝二二一一三十八枚，一人一日为瓦七十六枚

（二二）现有1人每1日可制牡瓦38枚，1人每1日可制牝瓦76枚。现在让1个人来制瓦，如果牡瓦和牝瓦各制一半，问牡瓦、牝瓦各制出了多少？答：牡瓦、牝瓦各为枚。运算法则：将牡瓦、牝瓦数相加，作为除数，将牡瓦、牝瓦数相乘，作为被除数。被除数除以除数，得数为两种瓦的数量。

（二三）今有一人一日矫矢五十，一人一日羽矢三十

（二三）现有1人每1日可矫正箭杆50支，1人每1日可安装箭羽30支，1人每1日可安装箭尾15支。现在让1个人1日矫正箭杆、安装箭羽和箭尾，可以制成多少支箭？答：可制成支。运算法则：矫正箭杆50支，需要用1人。安装箭羽50支，需要用人。安装箭尾50支，需要用

（二四）今有假田，初假之岁三亩一钱，明年四亩一钱

（二四）现有田要借租，第一年3亩地收租1钱，第二年4亩地收租1钱，第三年5亩地收租1钱。现3年收到租金100钱，问租出了多少田？答：租出了1顷亩。运算法则：列出田的亩数和钱数，将亩数和钱数互乘，将所得相加作为除数。亩数相乘，再乘100钱，以此作为被除数。被除数除以除数，得数为租出的田的亩数。

（二五）今有程耕，一人一日发七亩，一人一日耕三亩

（二五）现在按照标准来耕种：1人1日可翻地7亩，1人1日可耕地3亩，1人1日可平地5亩。现让1个人来翻地、耕地、平地，问可以耕种多少田？答：可耕种1亩平方步的田。运算法则：将翻地、耕地、平地的亩数与人数互乘，将所得相加作为除数。将亩数相乘作为被除数。被除数除以除数，得数为1人完成三种劳作得到的亩数。

（二六）今有池，五渠注之。其一渠开之，少半日一满；次

（二六）现有水池，有5条水渠流入池子中。如果用单渠注水，第一条水需要渠需要日才能注满水池，第四条水渠需要日才能注满水池，第二条水渠需要3 1日日才能注满水池，第五条水渠才能注满水池，第三条水渠需要5天才能注满水池。现在5条水渠同时向水池注水，需要多久才能注满水池？答：需要

（二七）今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一

（二七）现有人带着米要出3关，外关收的税是米的，中关收的税为米的，内关收的税是米的。出关后还剩下5斗米。问原本带有多少米？答：10斗

（二八）今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一

（二八）现有人拿着金子要出5关，第1关收的税是金子的，第2关收的税是金子的，第三关收的税是金子的，第4关收的税是金子的