九章算术

卷八方程

方程

今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗。上取中，中取下，下取上，各一秉而实满斗。问上、中、下禾实一秉各几何？

答曰：上禾一秉实二十五分斗之九，中禾一秉实二十五分斗之七，下禾秉实二十五分之四。

今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五，直金八两。问牛羊各直金几何？

答曰：牛一，直金一两二十一分两之一十三，羊一，直金二十一分两之二十。

（一）今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗

（一）现有上等粮食3捆，中等粮食2捆，下等粮食1捆，实共为39斗；上等粮食2捆，中等粮食3捆，下等粮食1捆，实共为34斗；上等粮食1捆，中等粮食2捆，下等粮食3捆，实共为26斗。那么，上、中、下等粮食每捆各多少？答：上等粮食每捆斗，中等粮食每捆斗，下等粮食每捆

（二）今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗

（二）现有上等粮食7捆，减去1斗，再加上下等粮食2捆，得到实为10斗。下等粮食8捆，加上1斗和上等粮食2捆，得到实也是10斗。那么，上、下等粮食1捆各多少？答：上等粮食1捆为斗，下等粮食1捆为斗。运算法则：依照“方程术”进行计算，减去的数量需要在别处增加，增加的数量需要在别处减少。减少1斗的，实际上它的实超过了10斗；增加1斗的，实际上它的实不足10斗。

（三）今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗。上取中

（三）现有上等粮食2捆，中等粮食3捆，下等粮食4捆，各自的实都不超过1斗。如果上等粮食加中等粮食1捆，中等粮食加下等粮食1捆，下等粮食加上等粮食1捆，它们的实恰好1斗。那么，上、中、下等粮食1捆各多少？答：上等粮食1捆斗，中等粮食1捆斗，下等粮食1捆

（四）今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉。上禾七秉

（四）现有上等粮食5捆，实减去1斗1升，等于下等粮食7捆；上等粮食7捆，实减去2斗5升，等于下等粮食5捆。那么，上、下等粮食1捆各多少？答：上等粮食1捆5升，下等粮食1捆2升。运算法则：按照“方程术”运算。列出上等粮食5捆，正数，下等粮食7捆，负数，减去的实1斗1升，正数。再列出上等粮食7捆，正数，下等粮食5捆，负数，减去的实2斗5升，正数。用正负法则来解答。

（五）今有上禾六秉，损实一斗八升，当下禾一十秉。下禾十五秉

（五）现有上等粮食6捆，实减去1斗8升，等于下等粮食10捆；下等粮食15捆，实减去5升，等于上等粮食5捆。那么，上、下等粮食1捆各多少？答：上等粮食1捆8升，下等粮食1捆3升。运算法则：按照“方程术”运算。列出上等粮食6捆，正数，下等粮食10捆，负数，减去的实1斗8升，正数。再列出上等粮食5捆，负数，下等粮食15捆，正数，减去的实5升，正数。用正负法则来解答。

（六）今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉。下禾五秉

（六）现有上等粮食3捆，实加上6斗，等于下等粮食10捆；下等粮食5捆，实加1斗，等于上等粮食2捆。那么，上、下等粮食1捆各多少？答：上等粮食1捆8斗，下等粮食1捆3斗。运算法则：按照“方程术”运算。列出上等粮食3捆，正数，下等粮食10捆，负数，加上的实6斗，负数。再列出上等粮食2捆，负数，下等粮食5捆，正数，加上的实1斗，负数。用正负法则来解答。

（七）今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五直金八两

（七）现有5只牛、2只羊，共价值10两。2只牛、5只羊，共价值8两。那么，每只牛、羊各价值多少？答：每只牛价值为两，每只羊价值为两。运算法则：按照“方程术”进行计算。

（八）今有卖牛二、羊五，以买十三豕，有余钱一千

（八）现有人卖2只牛、5只羊，用所卖钱买13只猪，还余下1000钱。卖3只牛、3只猪，用来买9只羊，钱数正好。卖6只羊、8只猪，买5只牛，还少600钱。那么，每只牛、羊、猪各价值多少？答：每只牛价值为1200钱，每只羊价值为500钱，每只猪价值为300钱。运算法则：按照“方程术”进行计算。列出牛的只数2，为正数，羊的只数5，为正数，猪的只数13，为负数，余下的钱数1000，为正数，放在右行。其次，列出牛的只数3，为正数，羊的只数9，为负数，猪的只数3，为正数，放在中行。其次，列出牛的只数5，为负数，羊的只数6，为正数，猪的只数8，为正数，不足的钱600，为负数。放在左行。用正负算法来计算。

（九）今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻

（九）现有5只雀、6只燕，集合起来称重比较。雀总体较重，燕总体较轻。一只雀和一只燕交换后，重量正好相等。雀和燕共重1斤，那么1只雀、燕各重多少？答：1只雀重两，1只燕重两。运算法则：按照“方程术”计算，交换后再称重，4雀加1燕、5燕加1雀都重8两。

（一〇）今有甲乙二人持钱，不知其数。甲得乙半而钱五十

（一〇）现有甲乙两人拿着钱，不知道数额。甲得到乙钱数的，钱数为50钱，乙得到甲钱数的，钱数也为50钱。那么，甲乙各有多少钱？答：甲的钱数为，乙的钱数为25钱。运算法则：按照“方程术”计算，对钱数进行加减。

（一一）今有二马、一牛价过一万，如半马之价

（一一）现有2匹马、1只牛，价钱超过10000钱，等于马的价钱。1匹马、2只牛，价钱少于10000钱，等于只牛的价钱。那么，马、牛的价钱各是多少？答：马的价钱为钱，牛的价钱为

（一二）今有武马一匹，中马二匹，下马三匹，皆载四十石至阪

（一二）现有上等马1匹，中等马2匹，下等马3匹，载着40石粮食到山坡处，都爬不上山坡。如果1匹上等马加1匹中等马，2匹中等马加1匹下等马，3匹下等马加1匹上等马，则都能爬上山坡。那么，1匹上、中、下等马各能拉多少？答：1匹上等马能拉石，1匹中等马能拉石，1匹下等马能拉

（一三）今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足

（一三）现有5家共用1口井，甲家的2根汲水绳不够井的深度，加1根乙家的恰好与井深相等；乙家的3根汲水绳不够井的深度，加1根丙家的恰好与井深相等；丙家的4根汲水绳不够井的深度，加1根丁家的恰好相等；丁家的5根汲水绳不够井的深度，加1根戊家的恰好与井深相等；戊家的6根汲水绳不够井的深度，加1根甲家的恰好与井深相等。如果取各家不足的那部分汲水绳，再连接起来，恰好是井深。那么，井深是多少？五家的汲水绳各是多少？答：井深为7丈2尺1寸。甲家的汲水绳为2丈6尺5寸，乙家的汲水绳为1丈9尺1寸，丙家的汲水绳为1丈4尺8寸，丁家的汲水绳为1丈2尺9寸，戊家的汲水绳为7尺6寸。运算法则：按照“方程术”计算，运用正负算法。

（一四）今有白禾二步、青禾三步、黄禾四步、黑禾五步

（一四）现有白禾2步、青禾3步、黄禾4步、黑禾5步，它们的实都不满1斗。白禾2步再加青禾、黄禾各1步，青禾3步再加黄禾、黑禾各1步，黄禾4步再加黑禾、白禾各1步，黑禾5步再加白禾、青禾各1步，它们的实都为1斗。那么，白、青、黄、黑禾1步的实各多少？答：白禾1步为斗、青禾1步为斗、黄禾1步为

（一五）今有甲禾二秉、乙禾三秉、丙禾四秉，重皆过于石

（一五）现有甲禾2捆、乙禾3捆、丙禾4捆，它们的重量都超过1石。2捆甲禾所超重的部分与1捆乙禾相等，3捆乙禾所超重的部分与1捆丙禾相等，4捆丙禾所超重的部分与1捆甲禾相等。那么，1捆甲、乙、丙禾各重多少？答：甲禾1捆为石，乙禾1捆为石，丙禾1捆为石...

（一六）今有令一人、吏五人、从者一十人，食鸡一十

（一六）现有县令1人，小吏5人，随从10人，共吃10只鸡。县令10人，小吏1人，随从5人，共吃8只鸡。县令5人，小吏10人，随从1人，共吃6只鸡。那么，县令、小吏、随从每人各吃鸡多少？答：县令每人吃只，小吏每人吃只，随从每人吃只。运算...

（一七）今有五羊、四犬、三鸡、二兔，直钱一千四百九十六

（一七）现有5只羊、4只狗、3只鸡、2只兔，共价值1496钱。4只羊、2只狗、6只鸡、3只兔，共价值1175钱。3只羊、1只狗、7只鸡、5只兔，共价值958钱。2只羊、3只狗、5只鸡、1只兔，共价值861钱。那么，每只羊、狗、鸡、兔各多少钱？答：每只羊为177钱，每只狗为121钱，每只鸡为23钱，每只兔为29钱。运算法则：按照“方程术”计算，以正负法则推算。

（一八）今有麻九斗、麦七斗、菽三斗、荅二斗、黍五斗

（一八）现有麻9斗、麦7斗、菽3斗、荅2斗、黍5斗，价值140钱。麻7斗、麦6斗、菽4斗、荅5斗、黍3斗，价值128钱。麻3斗、麦5斗、菽7斗、荅6斗、黍4斗，价值116钱。麻2斗、麦5斗、菽3斗、荅9斗、黍4斗，价值112钱。麻1斗、麦3斗、菽2斗、荅8斗、黍5斗，价值95钱。那么，1斗麻、麦、菽、荅、黍各多少钱？答：1斗麻为7钱，1斗麦为4钱，1斗菽为3钱，1斗荅为5钱，1斗黍为6钱。运算法则：按照“方程术”计算，以正负法则推算。