卷九 勾股

勾股

今有木去人不知远近。立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直。从后右表望之，入前右表三寸。问木去人几何？

答曰：三十三丈三尺三寸少半寸。

术曰：令一丈自乘为实，以三寸为法，实如法而一。

今有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九丈五尺。人立木东三里，望木末适与山峰斜平。人目高七尺。问山高几何？

答曰：一百六十四丈九尺六寸太半寸。

术曰：置木高减人目高七尺，余，以乘五十三里为实。以人去木三里为法。实如法而一。所得加木高，即山高。

（一）勾股：今有勾三尺，股四尺，问为弦几何
（一）现有直角三角形，勾长3尺，股长4尺，问弦有多长？答：弦长5尺。（二）现有直角三角形，弦长5尺，勾长3尺，问股有多长？答：股长4尺。（三）现有直角三角形，股长4尺，弦长5尺，问勾有多长？答：勾长3尺。运算方法：勾长与股长各自乘，所得数相加后开平方，得数为弦长。用弦长自乘减去股长自乘，所得的余数开平方，得数为勾长。用弦长自乘减去勾长自乘，所得的余数开平方，得数为股长。
（四）今有圆材，径二尺五寸，欲为方版，令厚七寸。问广几何
（四）现有一块圆形的板材，直径为2尺5寸，现在想要将其做成方形的木板，使它的厚度有7寸。问长是多少？答：长为2尺4寸。运算法则：用直径2尺5寸自乘，用所得数减去7寸自乘后的得数，将所得的余数开平方，得数为长。
（五）今有木长二丈，围之三尺。葛生其下，缠木七周，上与木齐
（五）现有一棵大树，长为2丈，周长为3尺。葛就生长在树下，缠绕了大树7周，顶端与树一样齐。为葛有多长？答：有2丈9尺长。运算法则：用7周乘3尺作为股长，树长为勾长，以此求出弦长。弦长即为葛长。
（六）今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸
（六）现有一个正方形的水池，边长为1丈，初生的芦苇长在了水池中央，高出水面1尺。将芦苇往岸边引，恰好与岸边相接。问水有多深，芦苇有多长？答：水深1丈2尺，芦苇长1丈3尺。运算法则：将水池边长的自乘，将高出水面1尺自乘，两者相减，用余下的数除以2倍高出水面之数，得数为水深。水深加上出水数，得数为芦苇的长度。
（七）今有立木，系索其末，委地三尺。引索却行
（七）现有一根竖着的木头，在木头的上方系了根绳索，绳索沿着木头下垂，堆在地面后，绳索还多出了3尺。牵着绳索往后退，在高木头根部8尺的地方绳索用尽。问绳索有多长？答：绳索长1丈尺。运算法则：将绳头与木头根部的距离相乘，除以绳索堆在地面长度，得数再与绳索堆在地面的长度相加，然后除以2，得数为绳索的长度。
（八）今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐。引木却行一尺
（八）现有一面墙高1丈。木杆倚靠于墙，使木杆的顶端与墙的顶端齐平。牵引木杆的底端退后1尺，然后将木杆放落在地上。问木杆有多长？答：木杆长5丈5寸。运算法则：用墙的高度10尺自乘，除以木杆底端退后的1尺，得数加木杆底端退后的尺数，再除以2，得数为木杆的长度。
（九）今有圆材，埋在壁中，不知大小。以鐻鐻之，深一寸
（九）现有一根圆形的木材，埋在了墙壁之中，不知道它的大小。现用锯子锯它，如果深度达到1寸，锯道长为1尺。问木材的直径是多少？答：直径为2尺6寸。运算法则：将锯道长的自乘，除以锯深的寸数，再加上锯深的寸数，得数为木材的直径。
（一〇）今有开门去阃一尺，不合二寸。问门广几何
（一〇）现要推开两扇门，门框距离门槛1尺，两扇门之间的缝隙为2寸。问门的宽度是多少？答：门宽1丈1寸。运算法则：用门框距离门槛的1尺自乘，得数除以两扇门之间的缝隙的寸数，得数加上两扇门之间的缝隙的寸数，得数为门的宽度。
（一一）今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈
（一一）现有一扇门，门的高度比门的宽度多6尺8寸，门的对角线距离恰好为1丈。问门的高度、门的宽度各是多少？答：门宽为2尺8寸，门高为9尺6寸。运算法则：将1丈自乘作为“实”，取门高比门宽多出来的数的一半，将其自乘，再乘以2，用“实”减去其得数。将余下的数的一半开平方，再减去门高比门宽多出来的数的一半，得数为门的宽度。将门宽加上门高比门宽多出来的数，得数为门的高度。
（一二）今有户不知高、广，竿不知长短。横之不出四尺
（一二）现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少。横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长。问门的高度、门的宽度、门的对角线长度各是多少？答：门宽为6尺，门高为8尺，门对角线长为1丈。运算法则：将竹竿竖着放多出门高的数与横着放多出门宽的数相乘，得数乘2，再开平方。得数加上竖着放多出门的数，即为门宽，得数加上横着放多出门的数，即为门高，得数同时加竖着放多出门的数和横着放多出门的数，即为门的对角线长。
（一三）今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。问折者高几何
（一三）现有一根竹子，竹高为1丈，末端折断后抵达地面，距离竹子的根部为3尺。问竹子未折断的部分有多高？答：高尺。运算法则：用竹子折断后末端处距离竹子根部的数自乘，除以竹子的高，用竹高减去所得之数后，再除以2，得数为未折断的竹高。
（一四）今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙东行
（一四）现有甲乙两人站在相同的地点。甲行走的速率是7，乙行走的速率是3。现在乙要向东走，甲向南走了10步后，再斜着走向东北，并与乙相会。问甲乙两人的行程分别是多少？答：乙向东行走了步；甲向南走和斜向东北走共走了步。运算法则：将7自乘，3也自乘，两者得数相加后取一半，以此作为甲的斜行速率。将7自乘后，减去甲的斜行速率，余下的数作为甲的南行速率。用3乘7作为乙的东行速率。用甲南行的10步，乘甲斜行的速率，另用甲南行的10步，乘乙向东行的速率，各自作为被除数。以南行率作为除数。被...
（一五）今有勾五步，股十二步。问勾中容方几何
（一五）现有直角三角形，勾长为5步，股长为12步。问这个直角三角形容纳的最大的正方形的边长是多长？答：边长为步。运算法则：将勾长与股长相加，得数作为除数，勾长与股长相乘作为被除数。被除数除以除数，得数为正方形的边长。
（一六）今有勾八步，股十五步。问勾中容圆，径几何
（一六）现有直角三角形，勾长为8步，股长为15步，问这个直角三角形容纳的最大的圆形的直径是多少？答：直径为6步。运算法则：勾长为8步，股长为15步，根据勾股定理，可求出弦长。将勾长、股长、弦长相加，以此作为除数，将勾长乘股长，再乘2，以此作为被除数。被除数除以除数，得数为圆形直径的步数。
（一七）今有邑方二百步，各中开门。出东门十五步有木
（一七）现有一个正方形的小城，边长为200步，每个方向城墙的中央都有一道城门。从东门出去，走15步处有一棵大树。问从南门出去，走多少步能看到大树？答：走步。运算法则：以出东门走的步数作为除数，取小城边长的自乘，以此作为被除数。被除数除以除数，得数为所求的步数。
（一八）今有邑，东西七里，南北九里，各中开门
（一八）现有一座小城，东西相距7里，南北相距9里。各方向城墙的中央都有一道城门。从东门出去，走15里处有一棵大树。问从南门出去，走多少步能看到大树？答：走315步。运算法则：用从东门到城角的步数，乘从南门到东城角的步数，以此作为被除数。将大树距离东门的步数作为除数。被除数除以除数，得数为所走的步数。
（一九）今有邑方不知大小，各中开门。出北门三十步有木
（一九）现有一座不知道大小的正方形小城，小城各方向城墙的中央都开有一道城门。从北门出去，走30步处有一棵大树，从西门出去，走750步可以看见那棵大树。问小城的边长是多少？答：边长为1里。运算法则：令从两个门出去走的步数相乘，乘以4后，作为被开方数。开平方后，得数为小城的边长。
（二十）今有邑方不知大小，各中开门。出北门二十步有木
（二十）现有一座不知道大小的正方形小城，小城各方向城墙的中央都开有一道城门。从北门出去，走20步处有一棵大树。从南门出去，走14步后转向西行1775步可以看到大树。问小城的边长是多少？答：边长为250步。运算法则：以从北门出去的步数乘从南门出去西行的步数，再乘以2作为常数项。用从北门出的步数加上从南门出的步数，作为一次项系数，开平方后，为小城的边长。
（二一）今有邑方十里，各中开门。甲乙俱从邑中央而出。乙东出
（二一）现有一座正方形的小城，边长为10里，小城各方向城墙的中央都开有一道城门。甲、乙两人都从小城中央出发。乙向东门走，甲向南门走。甲不知道走了多少步后，又斜向东北走，擦着东城角而过后，恰好与乙相遇。所行路程的比率，甲为5，乙为3。问甲乙走得路程各是多少？答：甲从南门出，走了800步，又斜向东北走了步才赶上乙。乙从东门出发，走了步。运算法则：将5自乘，3也自乘，两者相加后除以2，得数为甲的斜行率。将5自乘后，减去甲的斜行率，余下的数作为甲的南行率。将3乘5，作为乙的东行率。...
（二二）今有木去人不知远近。立四表，相去各一丈
（二二）现有一棵树，与人相距的距离不知道是多少。现立四根标杆，前后左右的距离各是1丈，令左边两根标杆与所观察的树三点成为一线。从右后方的标杆看树，视线与前表线的相交点在“右前杆”左边的3寸处。问树与人之间的距离是多少？答：距离为33丈3尺寸。运算法则：将1丈自乘，作为被除数，3寸作为除数，被除数除以除数，得数为树与人之间的距离。
（二三）今有山居木西，不知其高。山去木五十三里
（二三）现有一座山位于大树的西面，不知道山有多高。山与大树的距离为53里，大树高9丈5尺。人与大树的距离为3里，人的视线恰好与树梢、山顶在同一条斜线上。人的眼睛距地面7尺。问山有多高？答：山高164丈9尺寸。运算法则：将大树的高度减去人的眼睛距离地面的高度7尺，余下的数乘山与树的里数53里，以此作为被除数。将人与树的距离3里作为除数。被除数除以除数，得数加树高为山的高。
（二四）今有井，径五尺，不知其深。立五尺木于井上
（二四）现有一口井，井的直径为5尺，不知道有多深。现有一根5尺长的木头立在了井上，从木头的顶端往下看，视线与井的直径的相交点距离竖着的木头根部的4寸处。问井有多深？答：井深为5丈7尺5寸。运算法则：用井的直径5尺，减去“入径”的4寸，余下的数乘木头的高5尺，以此作为被除数。将入径4尺作为除数。被除数除以除数，得数为井深。
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