附录二周髀算经 - 《九章算术》

（一）昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也

（一）从前周公问商高说：“我听说你擅长计算，那古时的包牺是如何测量整个天空的？人不能由台阶而登上天，也不能按照尺寸来丈量地，他的数据是怎么来的？”商高说：“他是按照圆形和方形的计算法则来计算的，圆形来源于方形，方形来源于长方形，长方形面积来源于乘法计算。所以把长方形按照对角线对折，得到勾为3、股为4、对角线为5。“这就是勾股定理的计算方法，先拼接一个正方形，然后从外面按照对角线取长方形的一半，再准备与长方形一半大小相等的四个三角形。最后将这四个三角形环绕着拼接在一起，组成一个新正方形。由此得出，对角线的平方等于勾的平方与股的平方之和。进而得出，勾股弦（对角线）的比率关系为3:4:5，以勾为边长的正方形面积与以股为边长的正方形面积之和为25，即23+42=52。这种计算法则，是从大禹治理天下的实践中演变而来。”

（二）周公曰：“大哉言数。请问用矩之道。”商高曰

（二）周公说：“这个推算实在太有意义了。那么，如何使用矩呢？”商高说：“把矩放置水平，另一边垂直放置，可以确定垂直和水平。把矩竖立起来，可以测量高度；把矩向下放，可以测量深度；把矩平放，可以测量距离；将矩旋转，可以得到圆；将矩拼接在一起，可以得到正方形。“方属地，圆属天，天圆地方。方的计算是有法可循的，方可以转化为圆。天的形状类似斗笠，天是青黑色的，地是红黄色的。天好像斗笠，外面是青黑色，里面是红黄色，象征着天玄的地位。因此了解地的是智者，了解天的是圣人。智者了解勾股的关系，知道勾来源于矩，同时通过矩的演算可以随时随地丈量万物。”周公说：“真是太妙了！”

（一）昔者荣方问于陈子，曰：“今者窃闻夫子之道：知日之高大

（一）从前荣方向陈子请教说：“最近我听说有人谈起您的言论：您能知道太阳有多高，阳光能照多远，一天能运行多远，以及太阳距离地面的距离；能看到东西南北无穷远的距离，天上星辰的位置，天地间的范围。您的言论众人皆知，确实是这样吗？”陈子说：“确实如此。”

（二）荣方曰：“方虽不省，愿夫子幸而说之，今若方者

（二）荣方说：“我虽然不聪明，但有幸得到先生的指点和教导。现在像我这样的人，都能明白这个道理吗？”陈子说：“当然。这些都是计算的知识。只要你懂得计算的知识，就可以了解这些道理。你要专心地思考、反复地思考。”荣方回去思考，几天后仍不得其法。于是，他再次请教陈子，说：“我已经思考了，但是还不明白其中道理。现在再次向先生请教。”陈子说：“你思考得不透彻。观察天文的算法和测量远近、高低相似，你之所以不能理解，是因为你对于算术没有触类旁通。因为你知识不够渊博，不懂得举一反三。智者的方法言简意赅且被广泛应用，是因为做到了对知识的归纳总结，同时可以通过一类知识而知晓万物。“现在你可以运用所学的知识，但是还有不懂的地方，说明你的知识还有欠缺。之所以如此，是因为你学习后，担心自己学得不够渊博；学得渊博后，担心自己不够专心研习；专心研习后，担心自己不能精益求精。所以，学习时要把同一类知识一起学，把同一类事物一起观察。这就是聪明与愚笨、贤能与不贤有所区别的原因。“贤能的人能归纳、总结知识，能精通知识、运用知识，并且反复地研习知识。学...

（三）荣方复归思之，数日不能得。复见陈子曰

（三）荣方又回去思考几日，还是不能明白其意。又向陈子请教说：“我已经反复思考，但因为我知识不渊博，也不能举一反三，还是不能明白。请您再指点指点我吧！”陈子说：“请坐，我来给你讲讲。”于是荣方坐下，陈子说：“夏至时，太阳在南方16000里，冬至时，太阳在南方135000里。这是通过立竿测影的方法得到的，也是符合实际的数据。测日影的表叫作周髀，长8尺；夏至时，表的投影长1尺6寸。周髀作为股，投影作为勾。夏至时，如果把周髀移到周地的正南方1000里，那么投影的长为1尺5寸；移到周地正北1000里，那么投影的长为1尺7寸。太阳越向南移动，周髀的投影就越长。”

（四）“候勾六尺，即取竹，空径一寸，长八尺。捕影而视之

（四）“等到表影为6尺时，取一个空心的竹筒，内径为1寸，长为8尺。用它来观察日影，竹筒上端的圆孔正好被太阳掩盖住，即太阳直径与空心竹筒直径相等。因此，太阳距离观测者的距离与太阳直径的比率，与竹筒的长度与竹筒内径的比率相等，即80:1。“观察中，应该先观察投影的变化，以投影为勾，周髀为股。表影为6尺时，从周地向南60000里，太阳正下方正好无影。因此，此地垂直距离太阳的距离为80000里。想要求周地到太阳的斜线距离，应该以周地到太阳正下方的距离60000为勾，太阳到地面的垂直距离80000为股。勾自相乘即60000乘60000，股自相乘即80000乘80000，得数之和100000000开平方，得数为周地到太阳的斜线距离10000。从周地周髀到太阳的距离为100000里，按照80:1来计算，得出太阳的直径为1250里。“运算法则：周髀长8尺，每移动1000里，影长增减1寸。“因此，极是天地广大的象征。现在立表来观察北极，影长为1丈3寸。由此看来，从周地到北极的距离为103000里。”

（五）荣方曰：“周髀者何？”陈子曰：“古时天子治周

（五）荣方问：“周髀究竟是怎么回事？”陈子说：“古时周天子治理周地，用它观测测量距离，因此而得名。髀，就是表。夏至，太阳在周地正南16000里，冬至，太阳在周地正南135000里，正午时表没有投影。因此，从极下向南到夏至正午的地方距离为119000里，往北到夏至半夜所在地也是119000里。夏至太阳运行一周的直径为238000里，周长为238000乘π（取π=3），为714000里。“从夏至正午所在地向南到冬至正午所在地，距离为119000里。从这里向北到极下也是119000里。因此，从极下向南到冬至正午所在地的距离为238000里，从极下向北到冬至半夜所在地也是238000里。冬至太阳运行一周的直径为476000里，周长为476000乘π（取π=3），为1428000里。“从春分日、秋分日正午所在地向北到极下为178500里，从极下向北到春分、秋分半夜所在地也是178500里。春分、秋分太阳运行1周的直径为357000里，周长为357000乘3，为1071000里。因此，月球运行的轨道围绕着二十八星宿而运行，太阳运行1年的轨道也是如此。...

（六）“春分之日夜分以至秋分之日夜分。极下常有日光

（六）“春分到秋分，极下常出现极昼；秋分到春分，极下常出现极夜。春分、秋分日夜交替时，日光恰好照到极下，阴阳平分。冬至、夏至，太阳运行扩张和收敛之时，形成了昼夜的长短到极致。春分、秋分，阴阳平分，白天和夜晚时间相等。白天为阳，夜晚为阴，春分到秋分，呈现昼之象，秋分到春分，呈现夜之象。所以，春分、秋分，正午时太阳光照达到北极，夜晚时太阳光照达到南极，这就是昼夜的区分。因此，太阳光照的范围可达167000里。”

（七）“人所望见，远近宜如日光所照。从周所望见

（七）“人所能看见的距离，与太阳光照的距离恰好相等。从周地所能看见的距离，向北超过极下64000里，向南超过冬至太阳中心所在地32000里。夏至正午时，太阳光向南超越了冬至所在地的48000里，向南超越了人所能看到距离极限的16000里；向北超越了周地151000里，超越极下48000里。冬至半夜，太阳光向南少于人所能看到距离极限的7000里，少于极下的71000里。夏至日的正午与半夜，太阳光超越极下并且重叠，重叠的范围为96000里。冬至正午与半夜，太阳光不能相连，两者距离为142000里，且都与极下相距71000里。”

（八）“夏至之日，正东西望

（八）“夏至，在正东正西观察太阳，太阳在与周地处于同一直线，日落所在地距离周地59598里。冬至，在正东正西方向看不见太阳，计算可得出，日落所在地距离周地214557里。这种现象是由太阳扩张和收敛而引起的。“要根据音律观察冬至夏至，听钟声的变化可以发现太阳的变化。按照冬至、夏至昼夜太阳运行轨道的变化，可以得出阳光所能照射的范围，得出天地的直径为81万里，周长为243万里。从周地向南到太阳光照的极限为302000里，从周地向北到太阳光照的极限为508000里。从周地向东、向西到太阳光照的极...

（九）“此方圆之法。万物周事而圆方用焉，大匠造制而规矩设焉

（九）“这就是方圆之法。万事万物的研究要运用方圆的法则，因此能人贤者设计制造规和矩来计算。有时需要用方来求圆，有时需要用圆来求方。方中作圆，叫作方圆；圆中作方，叫作圆方。”

（一）七衡图凡为此图，以丈为尺，以尺为寸，以寸为分

（一）七衡图制作七衡图，以丈为尺，以尺为寸，以寸为分，1分代表1000里。需要一块8尺1寸的方形丝帛。现在用4尺5分的方形丝帛来制作七衡图，1分代表2000里。《吕氏春秋》说：“四海之内，天地东西长28000里，南北长26000里。”制作日月运行的圆周图，画7个同心圆，间距相等，代表6个月的节气，6个月共182日。因此，夏至太阳到东井星，在七衡图最内圈；冬至太阳到牵牛星，在七衡图最外圈。第二年冬至，太阳又回到最外圈。因此，一年为365日，太阳到达最内圈、最外圈...

（二）内一衡：径二十三万八千里，周七十一万四千里

（二）内衡直径为238000里，周长为714000里。分为365度，每度为1954里步。第二衡直径为277666里200步，周长为833000里。分为365度，每度为2280里

（三）其次，曰：冬至所北照，过北衡十六万七千里

其次，冬至太阳光所照的轨道直径，加光照极限的167000里，得到天地间的直径为81万里，周长为243万里，分为365度，每度为6652里步。超过这个范围，恐怕没人知道了。或许有人知道，或许有人持有怀疑态度，这只能依靠圣人来解决这个问题。冬至正午时周髀的投影为3尺5寸，夏至正午时周髀的投影为1尺6寸。冬至时，周髀投影长，夏至时，周髀投影短。投影长短每增加或减少1寸，地面的距离会随之增加或减少1000里。因此，冬至、夏至之间太阳南北运行的距离为119000里，天地的直径为81万里，周长为24...

（四）其南北游，日六百五十一里一百八十二步一千四百六十一分步之七百九十八

（四）太阳南北移动，每日运行651里182步。运算法则：把119000里作为被除数，半年182日为除数。通分后，952000为被除数，1461为除数，被除数除以除数得数651为所求里数。余数部分乘3得数为

（一）凡日月运行，四极之道，极下者，其地高人所居六万里

（一）日月运行天地四公道，北极之下，比人们居住的地方高60000里，由此地四面向下。天的中央也比四周高60000里。因此，太阳所照范围的直径为81万里，周长为243万里。因此，太阳运行到北极的极限，北方为正午，南方为半夜。太阳运行到北极的正东，东方为正午，西方为半夜。太阳运行到北极的正南，南方为正午，北方为半夜。太阳运行到北极的西东，西方为正午，东方为半夜。这四种天象的变化，是天地四极变化的原因。昼夜交换，太阳运行一日，又回到原来的位置。然而，它与阴阳的变化，以及四季变换的规律是一致的。

（二）天象盖笠，地法覆槃，天离地八万里，冬至之日，虽在外衡

（二）天像盖着的斗笠，地像倒扣的棋盘。天地的距离为80000里，冬至时，太阳虽然在外衡，时常处于极下20000里。因此，太阳运行位置的变化是月光变化的先兆，月光出现，逐渐变为明月，星辰也按照顺序排列。所以，秋分到冬至这段时间，日月星的精气逐渐减弱，这是与太阳距离越来越远的原因。这是天地阴阳变化的自然规律。

（三）欲知北极枢，璇周四极。常以夏至夜半时，北极南游所极

（三）想要知道北极的枢轴，应该知道北极璇玑四极的圆周面积。夏至半夜时，太阳从北极向南运行的极限。冬至半夜时，太阳从北极向北运行的极限。冬至酉时，北极向西运行的极限；冬至卯时，北极向东运行的极限。这里是通过北极绕着北斗星运行，来确定北极枢轴的所在地，也就是北天正中央的位置。

（四）正极之所游，冬至日加酉之时，立八尺表。以绳系表颠

（四）确定北极运行范围的方法：冬至日落后一个时辰，立8尺的表，把一根绳子系在顶端，向北极星的方向拉直绳子，使得北极星、表顶端、人眼成一条直线。把绳子延长到地面，并做好标记；日出后一个时辰，再次拉直绳子，使得三者成一条直线，再次做标记。测量两个标记的距离为2尺3寸，因此北极东西运行的极限为23000里。两个标记相连，确定东西方位。把这条线对折，指向表的方向，确定南北方位。上面测量时间的方法，可以用沙漏来测量。这里所说的北极东西运行的情况。测量南北运行时，拉直绳子到两个标记连线的中点，中点距离表为1丈3寸，得出天中央位置距离周地103000里。那么如何推算南北运行极限的时间呢？冬至半夜向北运行的极限，距离天中央11500里；夏至向南运行的极限，距离天中央11500里。这些数据都可以利用引绳表杆来获得，北极运行到极限时，标记距离表1丈1尺4 21寸，得出北极向下距离周地114500里，距离天中央1500里。北极向南运行到极限时，标记距离表9尺121寸，得出北极向下距离周地91500里，距离天中央11500里。这就是北斗星向南北运行到极限的算法。这些算法都以勾...

（五）璇玑径二万三千里，周六万九千里。此阳绝阴彰

（五）北极璇玑运行的直径为23000里，周长为69000里。在这个范围内，阳气衰亡，阴气旺盛，万物不能生长。确定范围的方法：通过立竿测影的方法确定四方。日出时，标记日影的位置；日落时，再次标出日影的位置。连接两个标记，连线为正东正西；将连线对折取中点，中点与表连接，连线为正南正北。

（六）极下不生万物，何以知之。冬至之日去夏至十一万九千里

（六）如何知晓极下不生万物呢？冬至日太阳的位置距离到夏至日太阳的位置相差119000里，万物都衰败死亡。夏至，太阳的位置距离北极119000里，因此极下范围不生万物。北极左右，夏天也冰雪未融。春分、秋分，太阳在中衡运行。春分之后，太阳逐渐向北移59500里，而后到夏至；秋分后，太阳逐渐向南移59500里，而后到冬至。中衡距离周地75500里，中衡左右万物长青，始终如同夏天一般。这范围内，阳气旺盛，阴气衰败，所以万物长青，五谷一年成熟两次。北极左右，万物旺盛，早上生长、晚上成熟。

（一）立二十八宿，以周天历度之法。术曰：倍正南方

（一）用二十八星宿来确定测量天地的方法。方法是：与正南方相背的是正北方，用立竿测影的方法来确定。找一块平地，直径为21步，周长为63步。利用水平仪来矫正水平，取一圆形，直径为121尺7寸5分，直径乘3，周长为365尺。得数与周天365度相对应，然后再仔细检查确定，不能出现任何误差。把分和度进行划分，统领正南北东西线。把圆周长365

（二）则立表正南北之中央，以绳系颠，希望牵牛中央星之中

（二）在正南正北的中央立表，用绳子系在表的顶端，拉直绳子使得人眼、表顶端、牵牛中央星成一线，观察牵牛中央星的上中天；然后再观察最先到达上中天的须女星，拉直绳子使得人眼、表顶端、须女星成一线，观察它的中天。这时，再使用移动的表，观察牵牛中央星，看它向西偏离多少度。然后在圆周上利用移动的表做上标记，记下两者的距离。把移动的表所到的弧度作为度数，度数为8尺，因此测量到牵牛中央星的移动度数为8度。其他星宿的测量也要按照这个方法，直到确定二十八星宿的度数。

（三）立周度者，各以其所先至游仪度上，车辐引绳

（三）确定周天的度数，都按照上面游仪的观测方法。如果像向车的轮辐牵引绳子靠近车轴一样，将这些标记与中心用绳子牵引起来，那么测量的数据就更正确了。日出日落，可以用周天度数来确定。想要知道日出日落的时辰，先将周天365度划分为二十八宿，东井星半夜时位于南方午位的中天，牵牛星在北方子位的中天。东井星距离中天正南北方偏西30度，因此，东井星对应的是未位，牵牛星对应的是丑位。

（四）于是天与地协，乃以置周二十八宿。置以定

（四）于是天地和谐，在圆周上设置二十八星宿。设置好之后，在圆周中央立表杆。冬至、夏至时，观测日出的角度；然后再立一个移动的表，观测中央表的投影，使得投影、标杆、移动的表成一条线。移动的表标记出日出的度数，日落的测量也是如此。

（五）牵牛去北极百一十五度千六百九十五里二十一步千四百六十一分步之八百一十九

（五）牵牛星距离北极115度1695里21步。计算方法：外衡距离北极枢轴为238000里，减去北极璇玑的半径11500里，将余数226500里作为被除数。将内衡1度对应的弧长为1954里247步作为除数。被除数除以除数，得数的整数部分115为度数。余数部分1即所求的里数、步数。用300约分，作为分子，1461作为分母，得数的整数部分为里数。余数部分乘3，再除以分母1461，得数整数部分为百步数。余数部分乘10，除以分母1461，得数整数部分为十步数；余数部分乘10，除以分母1461，得数...

（六）娄与角去北极九十一度六百一十里二百六十四步千四百六十一分步之千二百九十六

（六）娄宿与角宿距离北极91度610里264步。计算方法：中衡距离北极枢轴为178500里作为被除数。内衡1度的弧长1954里247步作为除数。被除数除以除数，得数的整数部分为度数，余数部分即所求的里数、步数。如果还除不尽，用分数表示最后的数。

（七）东井去北极六十六度千四百八十一里百五十五步千四百六十一分步之千二百四十五

（七）东井星距离北极66度1481里155步。计算方法：内衡距离北极枢轴为119000里，加北极璇玑半径11500里，得数为130500里，作为被除数。内衡1度的弧长1954里247步作为除数。被除数除以除数，得数的整数部分为度数，余数部分即所求的里数、步数。如果还除不尽，用分数最后的数。

（八）凡八节二十四气，气损益九寸九分又六分之一

（八）共八节二十四气，每气相差9寸9分。冬至正午表的影长为1丈3尺5寸，夏至正午表的影长为1尺6寸。那么，各节气表的影长依次是多少？冬至表的影长为1丈3尺5寸；小寒表的影长为1丈2尺5寸，小分5；大寒表的影长为1丈1尺5寸1分，小分4；立春表的影长为1丈5寸2分，小分3；雨水表的影长为9尺5寸3分，小分2；惊蛰表的影长为8尺5寸4分，小分1；春分表的影长为7尺5寸5分；清明表的影长为6尺5寸5分，小分5；谷雨表的影长为5尺5寸6分，小分4；立夏表的影长为4尺5寸7分，小分3；小满表的影长为3尺5寸8分，小分2；芒种表的影长为2尺5寸9分，小分1；夏至正午表的影长1尺6寸；小暑表的影长为2尺5寸9分，小分1；大暑表的影长为3尺5寸8分，小分2；立...

（一）月后天十三度十九分度之七。术曰：置章月二百三十五

（一）月球每天向东运行13度。运算法则：把章月235，除以章岁19，得数12加上太阳每天向东运行的1度，得数为13度。这是月球一天运行的度数，即“月后天”的度数。

（二）小岁，月不及故舍三百五十四度万七千八百六十分度之六千六百一十二

（二）1小岁，月球向东运行354度。运算法则：小岁的日数354，乘“月后天”的度数13度，得数作为被除数。以940乘19得17860作为除数，被除数除以除数，得数为“积后天”的度数4737

（三）大岁，月不及故舍十八度万七千八百六十分度之万一千六百二十八

（三）1大岁中，月球向东运行18度。运算法则：大岁的日数383，乘“月后天”的度数13，得数作为被除数。940乘19作为除数得17860，被除数除以除数，得数为“积后天”度数5132

（四）经岁，月不及故舍百三十四度万七千八百六十分度之万一百五

（四）1个回归年，月球向东运行134度。运算法则：回归年的日数365，乘“月后天”的度数13度，得数作为被除数。940乘19得17860作为除数，被除数除以除数，得数为“积后天”度数4882

（五）小月，不及故舍二十二度万七千八百六十分度之七千七百五十五

（五）1个小月，月球向东运行22度。运算法则：1小月的日数29，乘“月后天”的度数13度，得数作为被除数。度数17860乘日数分母19作为除数，被除数除以除数，得数为“积后天”度数387度。之后，再依次减周天度数365

（六）大月，不及故舍三十五度万七千八百六十分度之万四千三百三十五

（六）1个大月，月球向东运行35度。运算法则：1大月的日数30，乘“月后天”的度数13度，得数作为被除数。度数17860乘日数分母19作为除数，被除数除以除数，得数为“积后天”度数401度。之后，再依次减周天度数365

（七）经月，不及故舍二十九度万七千八百六十分度之九千四百八十一

（七）1个经月，月球向东运行29度。运算法则：1个经月的日数29499 940日，乘“月后天”的度数13度，得数作为被除数。度数940乘日数分母19作为除数，被除数除以除数，得数为“积后天”度数394

（八）冬至昼极短，日出辰而入申。阳照三，不覆九

（八）冬至，白天非常短，太阳辰位出、申位落，只照射到巳、午、未三位，其他九位都照射不到，太阳升落的东西连线偏向南。夏至，白天特别长，太阳寅位出、戌位落，能照射到九位，其他三位照射不到，太阳升落的东西连线偏向北。面向南方，太阳左升右落。冬至、夏至之间，太阳在南北轨道运行，因此冬至对应在坎位。此时，阳气开始于子位，太阳从巽位升起、坤为落下，大地日照少，天气寒冷。夏至对应离位，阴气开始于午位，太阳从艮位升起、乾位落下，大地日照多，天气炎热。

（九）日月失度，而寒暑相奸。往者诎，来者信也，故诎信相感

（九）日月运行失去规律，寒暑就会混乱。太阳运行轨道向南移，白昼就会越来越短；太阳运行轨道向北移，白昼就会越来越长，因此长短变化是相互的。冬至后，太阳向右运行；夏至后，太阳向左运行。左行，就是太阳运行轨道南移；右行，就是太阳运行轨道北移；因此，日月在朔位合，为一个月；太阳回到东升或西落的位置，为一日；太阳围绕着恒星运行，回到原来的位置，为一年。外衡与冬至对应，内衡与夏至对应，六气往返则称为中气。

（一〇）阴阳之数，日月之法。十九岁为一章，四章为一蔀

（一〇）阴阳日月的法则：19年为1章，4章为1蔀，为76年。20蔀为1遂，为1520年。3遂为1首，为4560年。7首为1极，为31920年。到此结束，之后万物重新开始，依照天道来设置历法。

（一一）何以知天三百六十五度四分度之一。而日行一度

（一一）如何知道周天为365度？太阳每天向东运行1度，月球每天向东运行13 197度，29日为1个月，12月为1年呢？远古时期，庖牺氏、神农氏制作历法，开始知道有日、月、星，但是不知道其运行规律，也没有进行测量。他们认为太阳主宰白天，月亮主宰夜晚，...

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