(一三)今有五家共井,甲二绠不足,如乙一绠;乙三绠不足

本题是五家共井:各家绳长与井深互为条件,五个未知量列五个方程。术文用方程术消元,是中国数学史上著名的多元方程组。

(一三)今有五家共井,甲二绠不足,如乙一绠;乙三绠不足,如丙一绠;丙四绠不足,如丁一绠;丁五绠不足,如戊一绠;戊六绠不足,如甲一绠。如各得所不足一绠,皆逮。问井深、绠长各几何?

(一三)现有5家共用1口井,甲家的2根汲水绳不够井的深度,加1根乙家的恰好与井深相等;乙家的3根汲水绳不够井的深度,加1根丙家的恰好与井深相等;丙家的4根汲水绳不够井的深度,加1根丁家的恰好相等;丁家的5根汲水绳不够井的深度,加1根戊家的恰好与井深相等;戊家的6根汲水绳不够井的深度,加1根甲家的恰好与井深相等。如果取各家不足的那部分汲水绳,再连接起来,恰好是井深。那么,井深是多少?五家的汲水绳各是多少?

答曰:井深七丈二尺一寸。甲绠长二丈六尺五寸,乙绠长一丈九尺一寸,丙绠长一丈四尺八寸,丁绠长一丈二尺九寸,戊绠长七尺六寸。

答:井深为7丈2尺1寸。甲家的汲水绳为2丈6尺5寸,乙家的汲水绳为1丈9尺1寸,丙家的汲水绳为1丈4尺8寸,丁家的汲水绳为1丈2尺9寸,戊家的汲水绳为7尺6寸。

术曰:如方程,以正负术入之。

运算法则:按照“方程术”计算,运用正负算法。

译解▾

(一三)列出各行的数,

1 0 0 0 2

0 0 0 3 1

0 0 4 1 0

0 5 1 0 0

6 1 0 0 0

1 1 1 1 1

根据右行分别乘各行,依次相减,最后得出除数为721,被除数为76,被除数除以除数,得到戊家汲水绳的长度,达到了井深的,进一步得出,井深=721寸=7丈2尺1寸,戊家的汲水绳为76寸=7尺6寸。

根据题意,721–76×6=265寸=2丈6尺5寸,为甲家的汲水绳长,721–265×2=191寸=1丈9尺1寸,为乙家的汲水绳长,721–191×3=148寸=1丈4尺8寸,为丙家的汲水绳长,721–148×4=129寸=1丈2尺9寸,为丁家的汲水绳长。

术解▾

(1)假设五家的汲水绳分别为,a、b、c、d、e,井深为A。

(2)根据题意,得出,2a+b=A,3b+c=A,4c+d=A,5d+e=A,6e+a=A,得出,A=7丈2尺1寸,a=2丈6尺5寸,b=1丈9尺1寸,c=1丈4尺8寸,d=1丈2尺9寸,e=7尺6寸。

原文▾

(一三)今有五家共井,甲二绠(1)不足,如乙一绠;乙三绠不足,如丙一绠;丙四绠不足,如丁一绠;丁五绠不足,如戊一绠;戊六绠不足,如甲一绠。如各得所不足一绠,皆逮(2)。问井深、绠长各几何?

答曰:井深七丈二尺一寸。甲绠长二丈六尺五寸,乙绠长一丈九尺一寸,丙绠长一丈四尺八寸,丁绠长一丈二尺九寸,戊绠长七尺六寸。

术曰:如方程,以正负术入之。

注释▾

(1) 绠:汲水用的绳子。

(2) 逮:这里是到、及的意思。

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