(三一)今有圆田,周三十步,径十步。问为田几何

本题求圆田面积。术文用「周三径一」——取圆周率为三——再以周乘径取其四分之一,是《九章》最基本的圆面积算法。

(三一)今有圆田,周三十步,径十步。问为田几何?

(三一)现有圆形田地,周长为30步,直径为10步,那么田地面积是多少?

答曰:七十五步。

答:面积为75平方步。

(三二)又有圆田周一百八十一步,径六十步三分步之一。问为田几何?

(三二)又有圆形田地,周长为181步,直径为步,那么田地面积是多少?

答曰:十一亩九十步十二分步之一。

答:面积为11亩平方步。

术曰:半周半径相乘得积步。又术曰:周径相乘,四而一。又术曰:径自相乘,三之,四而一。又术曰:周自相乘,十二而一。

圆形田地面积运算法则:周长的一半乘直径的一半,得数相乘就是所求田地面积;或者,周长和直径相乘,所得的积除以4,即所求面积;或者,直径和直径相乘,所得的积乘3,最后除以4,得数即为所求面积;或者,周长乘周长,所得的积除以12,得数即为所求面积。

译解▾

(三一)圆形面积=(周长÷2)×(直径÷2),即(30÷2)×(10÷2)=15×5=75平方步。

或者,圆形面积=周长×直径÷4。30×10÷4=300÷4=75平方步。

(三二)同理,(181÷2)×(÷2)=(181÷2)×(÷2)=平方步=11亩平方步。

术解▾

以(三一)为例:(1)先用第一种方法计算,圆形面积=(周长÷2)×(直径÷2),即(30÷2)×(10÷2)=15×5=75平方步。由此可得出,圆形面积=周长×直径÷4。即第二种算法。(2)再用第二种方法计算,即30×10÷4=75平方步。古时圆周率为3,即π=3。圆形周长的运算法则为,周长=π×直径,可得出圆形面积=π×直径×直径÷4。进一步得出…

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原文▾

(三一)今有圆田(1),周(2)三十步,径(3)十步。问为田几何?

答曰:七十五步。

(三二)又有圆田周一百八十一步,径六十步三分步之一。问为田几何?

答曰:十一亩九十步十二分步之一。

术曰:半周半径相乘得积步。又术曰:周径相乘,四而一(4)。又术曰:径自相乘,三之(5),四而一。又术曰:周自相乘,十二而一。

注释▾

(1) 圆田:圆形田地。

(2) 周:圆形周长。

(3) 径:直径。

(4) 四而一:取四分之一,即除以4。

(5) 三之:乘3。

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