(三五)今有弧田,弦三十步,矢十五步。问为田几何

弧田是弓形的田块。术文以弦长乘矢(弓高),再加矢自乘之半,是古代对弓形面积的近似公式,精度有限而思路清楚。

(三五)今有弧田,弦三十步,矢十五步。问为田几何?

(三五)现有弓形田地,弦长为30步,弧高为15步,那么田地面积是多少?

答曰:一亩九十七步半。

答:1亩平方步。

(三六)又有弧田,弦七十八步二分步之一,矢十三步九分步之七。问为田几何?

(三六)又有弓形田地,弦长为步,弧高为步,那么田地面积是多少?

答曰:二亩一百五十五步八十一分步之五十六。

答:2亩平方步。

术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一。

弓形田地面积计算法则:弦长乘弧高,弧高自相乘,两得数相加,和再除以2,得数为所求面积。

译解▾

(三五)假设弧长为a,弧高为h,面积则等于。即面积=×(30×15+152)=×(450+225)=平方步。转化为亩,即1亩平方步。

(三六)同理,面积=(ah+h2)=平方步=2亩平方步。

术解▾

以(三五)为例:

(1)先求弧长乘弧高,即30×15=450;弧高自相乘,15×15=225。

(2)再求两者之和,450+225=675;得数除以2,即337。

(3)通过题目可以看出,这弧形的弧长是弧高的两倍,得知弧形为半圆,弧高为半径。圆形面积=π乘半径的平方=π×152,古时π的数值为3,则半圆面积=圆形面积==1亩平方步。

(4)注意,目前我们取π的数值为3.14,因此计算结果与古时有所差异。同时,若是弧形不是半圆,利用这种计算方式结果也有很大差异。因此,最好不要使用圆形面积的计算方式。

原文▾

(三五)今有弧田(1),弦(2)三十步,矢(3)十五步。问为田几何?

答曰:一亩九十七步半。

(三六)又有弧田,弦七十八步二分步之一,矢十三步九分步之七。问为田几何?

答曰:二亩一百五十五步八十一分步之五十六。

术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之(4),二而一。

注释▾

(1) 弧田:弧,向上弯曲。弓形田地。

(2) 弦:底边的长度。如果弓形为半圆,则为圆的直径。

(3) 矢:弧形底边到弧的长度,即弧高。如果弓形为半圆,则为圆的半径。

(4) 并之:相加,求和。

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